对任意自然数n>6，求证：(n/2)的n次方〉n!〉(n/3)的n次方

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 05:44:53
唉，一段时间不做题水平就下来了，连发的第三题了。
还是那样，做对悬赏提升至30分

一楼的呀等于没说。
先证明对n>6，有2<(1+1/n)^n<3：
（1）(1+1/n)^n用二项式展开=1+(1/n)*n+...>2
（2）(1+1/n)^n = 1+(n/1)/n+[n*(n-1)/(1*2)]/n^2+....+[n*(n-1)*(n-2)*...*2*1/(1*2*3*...*n)]/n^n，容易看出：
第3项小于1/(1*2)，从而小于1/2，
第4项小于1/(1*2*3)，从而小于1/4，
第5项小于1/(1*2*3*4)，从而小于1/8，
....
第n+1项小于1/(1*2*3*...*n)，从而小于1/[2^(n-1)]，
所以这些项相加<1/2+1/4+1/8...=1
最终得到(1+1/n)^n<3。

现在用归纳法：对n有：(n/2)^n>n!>(n/3)^n
则n+1时有：
{[(n+1)/2]^(n+1)}/{[n/2]^n} =
[(n+1)/2]*(1+1/n)^n > [(n+1)/2]*2 = n+1,
所以{[(n+1)/2]^(n+1)}>(n+1)*n!=(n+1)!

{[(n+1)/3]^(n+1)}/{[n/3]^n} =
[(n+1)/3]*(1+1/n)^n < [(n+1)/3]*3 = n+1,
所以{[(n+1)/3]^(n+1)}<(n+1)*n!=(n+1)!

归纳法，展开公式，应该差不多能混出来。不用动脑子。